Formigón e cristal sobre unha fórmula

A catedral de St. Paul de Londres estaba a piques de caer cando ía comezar a construír a cúpula xigante superior, en 1697. Estaba claro que a cimentación se afundiría si púñase demasiado piso encima e o edificio íase a derrubar. Por tanto, era imposible manter o deseño orixinal; o arquitecto Christopher Wren debía aliviar a cúpula e a súa lanterna. Pero como?

A solución foi totalmente innovadora no ámbito da arquitectura. O milagre veu dun descubrimento do matemático Robert Hooke: a forma, a catenaria, dunha cadea colgada de dous puntos, distribúe as forzas e as tensións dunha maneira inmellorable e, envorcando esta forma, mantén a distribución das tensións. Por tanto, un arco construído con esta xeometría é especialmente estable. Hook expresou esta idea en latín: Ut pendet continuum flexible, sic stabit contiguum rigidum inversum . É dicir, un arco ríxido con volteo pero coa mesma forma que un cable flexible colga dos seus extremos.

Esta idea, ademais de nos arcos, tamén funciona nas cúpulas, si creouse facendo virar a xeometría do arco. Consciente diso, Christopher Wrene ideou un novo deseño, una nova estrutura de tres cúpulas: dúas cúpulas interiores e exteriores, xurdidas da forma dunha catenaria, e una terceira intermedia paira manter o peso da lanterna. Wrene deseñou a cúpula intermedia a partir da forma na que se colga una cadea e colócase un peso no centro. Volteando esta forma forzada, a estrutura é estable si hai una lanterna no lugar do peso. Este truco matemático de Wren canaliza as forzas de forma moi eficaz cara abaixo, o que fai que, a pesar de ter tres cúpulas, todo o sistema sexa o suficientemente lixeiro. Tres séculos despois, a catedral de St. Paul de Londres segue en pé.

Sedución de formas

Raúl Ibáñez é matemático da UPV. É un geometrista dedicado á divulgación. Divulgamat é a coordinadora da web de divulgación, o centro virtual de divulgación matemática, entre outros. Ed. Guillermo Roia/Fundación Elhuyar

"As casas normalmente fanse cadradas, pero tes que meterlle vigas moi fortes porque se non se che cae", afirma o matemático e divulgador da UPV Raúl Ibáñez. Ibáñez explica que as formas cadradas (cubos) son moi boas paira acumular estruturas, pero non son estables, mentres que as formas triangulares (tetraedro) si. "O triángulo é ríxido e é, precisamente, a forma básica que sostén moitos edificios; o edificio do BEC, moitos aeroportos ou polideportivos, as cúpulas geodésicas de Bucky Fuller, etc. son estruturas realizadas en triángulo. Os triángulos dan estabilidade á construción. Os guindastres típicos de construción non son edificios, pero hai un exemplo de estabilidade, son robustas grazas aos triángulos".

Con todo, a achega das matemáticas na estabilidade dos edificios é moito máis complexa. Varias xeometrías presentan una estabilidade suficiente paira soportar o edificio. De feito, moitos prestixiosos arquitectos basearon o seu traballo nesta idea. "A filosofía dos mestres Antoni Gaudí e Eduardo Torroja é que a mesma forma é bela, non só pola estética, senón porque a forma dá estabilidade ao edificio", afirma Ibáñez.

O traballo de Gaudí é moi coñecido. Construíu moitos grandes edificios, que en moitos casos convertéronse en símbolos locais. Os seus deseños abriron novas portas na arquitectura e basearon a innovación non só no concepto estético, senón tamén nas matemáticas. "Gaudí levou ao extremo o uso da catenaria", explica Ibáñez. "Destacan o colexio dos Teresianos de Barcelona, a casa Batlló e, sobre todo, a casa Milá, coñecida comunmente como A Pedrera. A terraza superior é un percorrido de catenaria ao redor de toda a casa".

Rogelio Dez é enxeñeiro. Participou no proxecto do Museo Guggenheim Bilbao na empresa IDON. Eles adaptaban as ideas de Gehry ao contexto de Bilbao. Ed. © Rogelio Dez

A procura de formas xeométricas que acheguen estabilidade era un gran traballo. Gaudí pasaba moito tempo buscando a xeometría necesaria. Pasou dez anos, por exemplo, no deseño da igrexa da colonia Güell. Traballaba sobre unha maqueta, de forma similar á realizada douscentos anos antes por Christopher Wrene, é dicir, engadindo cordóns e pesos nunha maqueta suspendida mentalmente. "A maqueta da igrexa da colonia Güell era de seis metros de longo e catro de alto", afirma Ibáñez. "A escala era 1:10 en tamaño e 1:10.000 en peso. Ao terminar, sacou una foto, envorcou a imaxe e debuxou o que debía ser a igrexa. Gaudí era moi especial. Pero, claro, logo tiña que fabricar esas formas. Paira crear as formas desexadas utilizaba paraboloides, hiperboloides e todo tipo de elementos xeométricos. Desgraciadamente aquela igrexa non terminou de construírse". Pero tanto estes edificios como a igrexa da Sacra Familia son fantasías matemáticas de Gaudí, mellor devandito, fantasías xeométricas. "Paira el, ademais, as matemáticas e a xeometría eran cousas únicas", di Ibáñez riseira, porque el era un geometrista.

XX. O madrileño Eduardo Torroja de principios do século XX tamén é considerado mestre polos arquitectos, aínda que non era arquitecto. Era enxeñeiro de camiños. Non é tan coñecido como Gaudí, en palabras de Ibáñez "quizá porque non construíu moitos edificios monumentais e os que fixo foron derrubados na Guerra Civil española". Pero tiña moito sentido e foi excepcional na explotación de recursos matemáticos paira conseguir a estabilidade. Un bo exemplo é a cuberta do hipódromo da Zarzuela en Madrid. Está baseado en hiperboloides monosuperficiales: un recurso xeométrico habitual na arquitectura actual paira a construción de construcións fantásticas.

Manter a respiración ao soltar a estrutura

A cúpula da catedral londiniense de St. Paul é completamente innovadora en arquitectura. Christopher Wrene deseñou tres cúpulas partindo da forma da catenaria. O estudo desta forma era una matemática punteira. A finais do século XX. Ed. © Jan Skwara/350RF

É certo que a xeometría dos edificios non é o único factor a considerar. Estas xeometrías son estruturas físicas. O estadio dos Xogos Olímpicos de 2008, o Estadio Nacional de Beijing, é un exemplo representativo. Chámaselle niño. O pseudónimo é apropiado porque se trata dun niño fabricado por un paxaro: a estrutura está formada por un gran grupo de tirantes, aparentemente caótico, pero cunha matemática moi complexa no seu deseño. Na súa construción instaláronse o tirantes un a un e logo uníronse paira crear una única estrutura. Durante o proceso de construción empregáronse moitos soportes paira manter os tirantes onde era necesario. E cando todos estaban unidos, retiráronse os soportes. Moi amodo, pero en todo o estadio á vez. En definitiva, a estrutura estable do edificio debía "liberarse" e manterse de pé por si mesma, cunha xeometría concreta e precisa. Foi un momento especial. Os construtores aguantaron a respiración e pulsaron o botón que quitaba os apoios.

Que pode pasar? Caída do edificio ao chan? O enxeñeiro Rogelio Dez cre que non. Dez está incluído no proxecto do Museo Guggenheim Bilbao desde 1992. Cando construíron o edificio traballaba na empresa IDON, que adaptaban o concepto de que viña da oficina do arquitecto Frank Gehry á realidade de Bilbao paira poder construír o museo. Por iso, Dez viu moi de cerca a construción do museo. "[En edificios singulares] cales son os riscos? Pois non sei... pero pode haber un erro, por exemplo, no tamaño dunha peza".Pero hoxe en día todo está moi ben calculado. "Xa sabes a forza que vai soportar cada elemento ao retirar a estada. E sabes que estes elementos serán de fácil conservación. Os programas informáticos que simulan a realidade son moi precisos na actualidade; teñen una precisión milimétrica".

O estadio de Beijing non caeu. Ao non ser materiais totalmente ríxidos, toda a estrutura presentaba un punto de flexibilidade. En consecuencia, ao retirar os apoios, o estadio debía adoptar a forma final. Debía asentarse e así o fixo. Os expertos dispuñan de numerosos sensores paira medir esta fixación e relaxación. Nalgúns lugares había una distancia aproximada de 20 centímetros desde a posición da estada até a posición final. Tal e como se calcula.

A maqueta foi elaborada por Gaudí paira deseñar a igrexa da colonia Güell. Colgou ao revés e probou durante dez anos as catenarias paira completar a súa estrutura. Ed. Canaan/CC_BY-SA

Esta liberación do edificio prodúcese, en maior ou menor medida, con numerosos edificios modernos. Con estruturas similares ao Museo Guggenheim Bilbao, ademais, hai una razón adicional paira ter un momento de nerviosismo: os elementos do edificio non son autónomos individualmente. "A estrutura non é estable ata que estea totalmente terminada", di Dez. "Foi un quebradizo de cabeza. Ti sabes que un volume é estable porque ten una xeometría determinada e a topología é pechada. Pero a metade dun elemento, por exemplo, non é estable. Por iso, non son estables ata que se montan todos os elementos xuntos."

A estrela de Bilbao

O Museo Guggenheim Bilbao está realizado en tres capas. Presenta en primeiro lugar una estrutura primaria cos elementos básicos do edificio. A segunda capa é una estrutura máis lixeira de aluminio que lle daría a forma deseñada por Gehry. E o terceiro é a superficie exterior, é dicir, a capa de láminas de titanio que lle dan forma exterior; en realidade trátase de placas galvanizadas, material impermeable e encima titanio. Grazas a esta estrutura estratigráfica, o edificio presenta una forma fantástica.

Imaxe dun lucero da Sacra Familia desde o interior. Neste tipo de estruturas, Gaudí utilizaba paraboloides, hiperboloides e moitas outras formas xeométricas paira construír formas espectaculares. Ed. © Constantin Yolshin/350RF

"No Museo Guggenheim o exterior son as superficies de Bezier", explica o matemático Raúl Ibáñez. "As superficies Bezier son útiles porque crean una forma estable a partir duns puntos determinados polo arquitecto". Na súa orixe, as curvas e superficies de Bezier empregáronse na industria do automóbil. Un enxeñeiro da empresa Renault, o francés Pierre Bezier, utilizou o deseño dos seus coches. Matematicamente son poucos complexos e son bos recursos paira crear formas estables e aerodinámicas. "Matematicamente é a generalización do paraboloide hiperbólico e hiperboloide", afirma Ibáñez. As curvas e superficies de Bezier chegaron desde o sector de automoción a programas de deseño gráfico. Usábanse en programas CAD e logo tiveron éxito nos recursos de tratamento de gráficos. Photoshop é un bo exemplo no campo do tratamento de imaxes, pero non é o único. E é que Bezier converteuse nunha invención estándar.

Así mesmo, en enxeñaría e arquitectura tamén se utilizan diariamente as curvas Bezier. O deseñador non debe crear todas as formas con gran precisión. Partindo dunha maqueta básica, o software calcula estas formas. Así nace o Museo Guggenheim Bilbao co programa CATIA. De feito, era un software desenvolvido paira a industria aeronáutica.

"Frank Gehry, cando ten una idea, traballa esta idea sobre unhas maquetas", afirma o enxeñeiro Rogelio Dez. "Realiza una maqueta de todo o edificio e maquetas de diferentes volumes. Basicamente é papel e cartón. Son maquetas brandas. El non talla nada. E cando dá por terminadas as maquetas dixitalízaas a través dun lapis óptico: marcando os puntos do volume da maqueta no espazo, introduce eses datos ao computador. E as superficies calcúlaas o propio computador. Eu naquela época só coñecía a dixitalización dun plano. Empecei a ver a Gehry facendo o mesmo en tres dimensións".

O Estadio Nacional de Beijing, alias Habia, una estrutura aparentemente caótica, pero na práctica un claro exemplo de matemática de estabilidade. Ed. Peter23/CC_BY

O resultado é una maqueta virtual coa parte xeométrica realizada. Pero o traballo do computador non fixo máis que empezar. Simulación física do modelo tridimensional. Paira iso accédese a outro programa e calcúlase a forza e tensión que soporta cada elemento.

"A forza principal a ter en conta é a forza de gravidade", explica Dez. "O vento tamén hai que telo en conta, non hai que descartalo do todo, pero a forza principal é a gravidade. Todos os esforzos da gravidade dirixiranse á cimentación a través dos compoñentes da estrutura do edificio. Por tanto, introducindo os datos dos compoñentes no computador e a distribución de todas as cargas, o computador indicarache onde debes engadir una columna. Ás veces iso non é factible e entón o instinto e a mente son fundamentais. Cambia e volve ao computador". E este proceso xérase con repeticións suficientes. O Museo Guggenheim Bilbao naceu así no computador. "Algunhas características do deseño de Gehry non se podían facer e houbo que engadir máis elementos. A galería máis grande, por exemplo, ten arcos adicionais cubertos de pladur."

A fantasía cae tamén

O deseño do edificio do Museo Guggenheim Bilbao non se basea nunha soa forma matemática. É una combinación complexa e estable pola integración de todas as partes. Se se collen por separado non estarían de pé. Ed. © Guggenheim Bilbao

Os edificios constrúense con gran traballo de xeometría. E así se obteñen, por exemplo, edificios que aparentemente deberían caer pero non caen. No entanto, hai que ter en conta un último factor. Dez teno claro: "Creo que todas as cousas teñen una data de caducidade. Os edificios non son paira sempre. Non preguntes si van durar cento ou douscentos anos, iso non se pode saber". Os materiais de construción teñen moito que ver. "Sábese que una estrutura de madeira dura uns 300 anos. Sabemos que as estruturas de formigón duran máis de cen anos, pero aínda non hai edificios de formigón armado construídos fai 300 anos. Descoñécese a súa duración. A estrutura do Museo Guggenheim Bilbao é de formigón armado e metal. Parece que durará moito sen caer ao chan, pero non sabemos". Por iso realízase una auditoría ao Museo Guggenheim Bilbao. A topografía dá milímetros de precisión aos do grupo Dez paira saber canto se move o edificio. "Todos os edificios están nun movemento continuo".

Á vista atrás da historia, hai edificios fantásticos que caeron e non caeron. De todos eles aprenderon arquitectos e enxeñeiros. Ademais de ofrecer un tema de estudo sobre a duración dos edificios, abren una nova porta paira analizar como se construíron construcións fantásticas con tecnoloxía limitada de outrora. A arquitectura europea de hai oito séculos, por exemplo, é exemplar. No norte de Francia inventáronse catedrais de fantasía. Sorprende como o fixeron.

Bochas jabonosas en deseño

O símbolo dos Xogos Olímpicos de Munich de 1972 foi o estadio. A cuberta ten forma de tea, é coma se o estadio e os seus arredores estivesen cubertos por unhas teas xigantes. Paira a realización desta estrutura, o arquitecto Frei Otto utilizou bochas jabonosas, xa que a combinación de bochas xera superficies minimales e o seu aspecto é moi estable. Son superficies de superficie mínima e xeometrías con mínima tensión superficial no caso do xabón.

O Estadio Olímpico de Munich foi deseñado polo arquitecto Frei Otto. Paira iso mergullaba os paus e cordóns nunha bañeira chea de bochas jabonosas e definiu a estrutura a partir das bochas que se pegaban a elas. Ed. Arade Mojtahedi/Dominio Público

Una soa bocha de xabón é una esfera. "Pero a esfera non é una xeometría estable", afirma o matemático da UPV Raúl Ibáñez. "Non se trata dunha superficie minimal, senón dun punto crítico, polo que presenta problemas de estabilidade moi elevados". Practicamente calquera cambio producido nunha esfera altera substancialmente a súa estabilidade. rompe e cae. Pola contra, a combinación de bochas e as bochas asociadas a distintas estruturas proporcionan superficies minimales.

É o que fixo Frei Otto paira deseñar o estadio de Munich. Ibáñez di que é un exemplo típico: "Otto investigaba e construía a estrutura creando una estrutura con paus e cordóns e mergullándoa nunha bañeira chea de bochas de xabón. Logo sacábao e analizábao".